Parabol Husus Anlatımı: Fomülleri, Denklemleri, Örnek Soru ve Yanıtları

featured
service

Tarihi M.Ö. 380’li yıllara kadar dayanan parabol, her vakit matematiğin en dikkat çeken alanlarından biri olmuştur. Başka mevzulardan farklı olarak parabol icat edilmedi. Tersine keşfedildi ve üzerinde çeşitli araştırmalar yapıldı. Günümüzde birçok pratik uygulamada kullanılıyor. 

 Bu yazımızda da, parabolü tüm ayrıntılarıyla ele alarak bahis anlatımı yaptık. Ayrıyeten, mevzuyu pekiştirmek ismine sık kullanılan denklemleri kullanarak daha evvel imtihanlarda çıkmış örnek soruları çözdük. Lafı daha fazla uzatmadan içeriğimize geçelim.

Temelden başlayalım; parabol nedir?

3f89237a3a496d53a269a688da53d411ca9337de

Parabol, kısaca muhakkak bir eğrinin denklemidir; o denli ki, eğri üzerinde bulunan her nokta, sabit bir noktadan ve sabit bir çizgiden her vakit eşit uzaklıkta olur. Bu sabit nokta parabolün odak noktasıdır ve sabit çizgi parabolün doğrultmanıdır. Diğer bir deyişle, makul bir noktadan yahut muhakkak bir çizgiden eşit uzaklıkta olan bir noktanın geometrik kısmına parabol denir.

Parabolik eğriler fizik, mühendislik, finans ve bilgisayar bilimleri üzere birçok alanda yaygın olarak kullanılıyor. Parabol, denkleme bağlı olarak üst yahut aşağı içbükey olabilen U şeklinde bir eğridir.

Peki parabol nasıl ortaya çıktı?

bc1ae135ec9bb5dee242fc52a3f25694dc5d56a0

Tarihsel olarak parabolün geometrik özellikleri eski Yunanlılar tarafından ortaya konmuştur. Tarihi kayıtlar incelendiğinde Menacchmus ( M.Ö. 380-320), hiperbol ve elipsin yanı sora parabolün özelliklerini de inceleyen ilk kişi olarak karşımıza çıkıyor. Daha sonra, Pergeli Apollonius M.Ö. 262-190) konik kesitler üzerine bir çalışma yaptı, ama yaptığı parabol tarifi oranlar cinsindendi ve çalışmasında rastgele bir koordinat kullanımı yoktu.

Bu tarihlerden uzun yıllar sonra, Galileo (1564-1642), bir merminin yerçekimi tesiri altında parabolik bir yol ile ilerlediğini fark etti. Ünlü matematikçi Kepler (1571-1630) ise, gezegenlerin Güneş etrafında hareket ederken eliptik biçime çok yakın bir biçimde döndüğünü birinci fark eden kişi oldu. Newton ise bunu kozmik çekim yasasını kullanarak kanıtladı.

Important!  Hindistan Hükümeti, Ülkenin İsmini "Bharat" Olarak Değiştirmeyi Planlıyor

Parabolün standart denklemi nedir, nasıl yazılır?

f4f7c34f8526f0e43d514ac5f1fd7118bde8d51d

XY düzleminde yer alan parabol üzerinde koordinatları (x,y) olan bir P noktası alın. Parabolün tarifi gereği, parabol üzerindeki rastgele bir noktanın odağa ve doğrultmana olan uzaklığı eşittir. P’nin doğrultmana olan uzaklığı ise PB biçiminde tabir edilir; burada B’nin koordinatları doğrultu üzerinde yer aldığı içim (-a, y)’dir ve P’nin odaktan uzaklığı PF’dir.

Parabol tarifine nazaran PF = PB (1) olduğundan, uzaklık formülü kullanarak şu sonucu elde ederiz:

PF = √((x-a)² +(y-0)² = √{(x-a)² +y² } . . . .(2)

PB = √{(x+a)² } (3)

(1), (2) ve (3). denklemleri kullanarak şu sonucu elde ederiz:

√{(x−a) +y² } = √{(x+a)² }

⇒ (x-a)² + y² = (x+a)² 

⇒ x² + a² – 2ax + y² = x² + a² + 2ax

⇒ y² – 2ax = 2ax

= y² = 4ax

Genel olarak, bir parabolün standart denkleminde doğrultman y eksenine paralel ise şu formda bir denklem oluşur;

y² = 4ax

Eğer parabol yan yana ise, yani doğrultman x eksenine paralel ise, parabolün standart denklemi şöyle olur;

x² = 4ay

Bu iki durum dışında bir parabolün denklemi, şayet parabol negatif kısımda ise y² = -4ax ve x² = -4ay halinde olabilir.

Parabol formülleri nelerdir?

Tepe noktası ve bir noktası bilinen parabol formülü

y = a.(x-r)² + k

x ekseninin kestiği noktalar ve üzerinde öteki bir nokta bilinen parabol formülü

f(x) = a. (x – x1) . (x – x2)

Üç noktası bilinen parabol formülü 

y=f(x) =ax² + bx + c

Sınavlarda çıkmış örnek parabol soruları

Soru 1:

ff7acd9d329256f8dfd40a16f97c3cade86f7e9b

Şekilde grafiği verilen parabolün zirve noktası, T(5/2, 5)  ve y eksenini kestiği nokta A(0,4)’tür. Bu parabolün denklemi y = ax² + bx + c olduğuna nazaran b kaçtır? 

Çözüm 1:

Tepe noktasını kullanarak, 

y = a(x+5/2)² + 5 biçiminde denklemi yazabiliriz. 

(0,4) noktasını da kullanalım.

4 = a(0+5/2)² + 5

4 = 25a / 4 + 5

-1 = 25a/4 => -4 = 25a => a = – 4 / 25’tir.

Important!  Hindistan'da Dul Bayanların Canlı Diri Yakılmaya Zorlandığı Bu Geleneğin Sebebini Öğrenince Tepenizin Tası Atacak!

y = – 4 / 25 (x+5/2)² + 5 denklemini açarak yazalım.

= – 4 / 25 x² + 5x + 25/4) + 5

= – 4 /25 x² – 4 / 5 x + olur.

Buna nazaran b = -⅘ olur.

Soru 2:

y = x² parabolü ile y = 2 – x doğrusu ortasında kalan sonlu bölgenin sonları üzerindeki (x, y) noktaları için x² + y² tabirinin alabileceği en büyük bedel kaçtır?

Çözüm 2:

ilk evvel parabol ile doğrunun grafiğini çizelim. y = x² parabolü zirve noktası orjin olan kolları üst yanlışsız olan bir paraboldür. y = 2 – x doğrusu eksenleri 2 ve 2 noktasında keser.

06c6983bd5b5d3c64f03b669c58fb3c3080d3d1a

x²+ y²nin en büyük kıymeti için orjinden en uzak noktayı almalıyız. Bu da A noktasıdır. A noktasının koordinatlarını bulalım. 

x²- 2 – x

x² + x – 2 = 0

(x+2)(x-1) = 0 , x = -2 bedeli A’nın apsisidir.

x = -2 için y = 2 – x – 4’tür.

A(-2, 4) noktası için

x² + y² = (-2)² + 4²

= 4 + 16 = 20’dir.

Soru 3:

y = x² – 2(a + 1 )x + a² -1

parabolü y = 1 doğrusuna teğet olduğuna nazaran, a kaçtır?

Çözüm 3:

y = 1 olduğunda işlevin tek bir kökü olmalı ki y = 1 doğrusunda teğet olsun. O halde,

1 = x² – 2(a+1)x + a² -1

0 = x² -2(a +1)x + a² – 2 denkleminde Δ = 0’dır.

(-2(a+1))² – 4.a.(a²-2)=0 

4(a² + 2a + 1)- 4a² + 8 = 0

8a + 12 = 0 

8a = -12 

a= -3/2

Soru 4:

a  ve b olumlu gerçel sayılar olmak üzere, dik koordinat düzleminde orijinden geçen

p (x + a) + b

p (x + a) –  b

p (x – a) – b

biçiminde tanımlanan üç parabolün zirve noktaları, alanı 16 birimkare olan bir üçgenin köşe noktalarıdır.

Buna nazaran, a + b toplamı kaçtır?

Çözüm 4:

p (x) = (x-a)² -b polinomu orjinden geçiyorsa, (0,0) noktası parabolün bir noktasıdır.

0 = (0-a)² – b

0 = a² – b => a² = b ‘dir.

Diğer polinomların zirve noktasını bulalım.

p ( x + a) + b = (((x+a)-a)² – b ) + b

=x² – b + b

= x²’dir. Zirve noktası (0,0) noktasıdır.

p ( x + a) -b = (((x-a)-a)² -b ) -b

= x²-b-b

= x² – 2b’dir. Zirve noktası (0,2b) noktasıdır.

Important!  Google'ın Kanada kararı! 'Dünyanın her yerinde alınıyorsa ülkemizde de alınmalı'

p (x-a) -b =(((x-a)-a)² – b ) -b

= (x-2a)² -b -b

= (x-2a)² -2b’dir. Zirve noktası (2a, -2b) noktasıdır.

Koordinat düzleminde inceleyelim.

92b967c99a011894da2d03d6b24fcd9c248ce382

Taban kısmı 2a uuzunlukta, yüksekliği ise 2b uzunluğunda olan bir üçgen elde ediliyor. Bu üçgenin alanı ise 16br² ise,

(2b.2a)/2 = 16

ab = 8’dir.

a² = b ise a = 2’dir.

b = a² = 4’tür.

a + b = 2+4 = 6

Soru 5:

d278f7c84b10a2ada9ec0c9333c36543ea4aa7a3

f(x) işlevinin grafiği, haldeki üzere, Ox eksenine (1, 0) noktasında teğet olan ve (0, 3) noktasından geçen paraboldür.

Buna nazaran, f(3) kaçtır?

Çözüm 5:

Tepe noktası (1, 0) noktası ise 

y = a(x-1)² + 0 denklemi ortaya çıkar.

(0, 3) noktasından geçtiğini kabul edersek,

3 = a(0-1)²

3 = a.1 => a = 3

f(x) = 3(x-1)² ise f(3)=3.(3-1)² = 3.4 = 12’dir.

Parabol Husus Anlatımı: Fomülleri, Denklemleri, Örnek Soru ve Yanıtları

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Giriş Yap

Cyber® Turkey News ayrıcalıklarından yararlanmak için hemen giriş yapın veya hesap oluşturun, üstelik tamamen ücretsiz!

Bildirimleri Etkinleştir OK Hayır, teşekkürler